Question

（12分）已知橢圓C：（a＞b＞0）的一個頂點為A（2,0），離心率為，直線y=k（x-1）與橢圓C交于不同的兩點M、N.
①求橢圓C的方程.
②當⊿AMN的面積為時，求k的值.

Answer 1

① .②k=±1.

試題分析：（Ⅰ）根據橢圓一個頂點為A （2，0），離心率為 ，可建立方程組，從而可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）直線y=k（x-1）與橢圓C聯立 y=k(x-1)與，消元可得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-4=0，從而可求|MN|，A（2，0）到直線y=k（x-1）的距離，利用△AMN的面積，可求k的值．
解：① 由題意得         a=2
                         =，
，
解得b=.所以橢圓C的方程為.
由②  y=k（x-1）， 得

設點M、N的坐標分別為則
所以
又因為點A（2,0）到直線y=k（x-1）的距離d=
所以⊿AMN的面積為s=∣MN∣.d==，
解得k=±1.
點評：解決該試題的關鍵是正確求出|MN|，通過設直線與圓錐曲線聯立方程組得到韋達定理表示得到線段的長度。