Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，∠BAC的平分線AD交⊙O于點D，DE⊥AC，交AC的延長線于點E．OE交AD于點F．
（I）求證：DE是⊙O的切線；
（II）若

AE

AB

=

4

5

，求

AF

DF

的值．

Answer 1

分析：（I）連接OD，根據角平分線定義和等腰三角形性質推行∠CAD=∠ODA，推出OD∥AC，根據平行線性質和切線的判定推出即可；
（II）先由（I）得OD∥AE，再結合平行線分線段成比例定理即可得到答案．

解答：解：（I）連接OD，可得∠ODA=∠OAD=∠DAC　　　　　（2分）
∴OD∥AE．又AE⊥DE，…．（3分）
∴DE⊥OD．而OD為半徑，
∴DE是⊙O的切線  （5分）
（II）由（I）得OD∥AE，
∴

AF

DF

=

AE

OD

．
又

AE

AB

=

AE

2OD

=

4

5

，（8分）
∴

AE

OD

=

8

5

，故

AF

DF

=

8

5

    （10分）

點評：考查了切線的判定定理，能夠綜合運用角平分線的性質、全等三角形的判定和性質以及平行線分線段成比例定理．