Question

把邊長為a的等邊三角形鐵皮剪去三個相同的四邊形（如圖陰影部分）后，用剩余部分做成一個無蓋的正三棱柱形容器（不計接縫），設容器的高為x，容積為V（x）．
（Ⅰ）寫出函數V（x）的解析式，并求出函數的定義域；
（Ⅱ）求當x為多少時，容器的容積最大？并求出最大容積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據容器的高為x，求得做成的正三棱柱形容器的底邊長，從而可得函數V（x）的解析式，函數的定義域；
（Ⅱ）實際問題歸結為求函數V（x）在區間(0，

3

6

a)上的最大值點，先求V（x）的極值點，再確定極大值就是最大值即可．

解答：解：（Ⅰ）因為容器的高為x，則做成的正三棱柱形容器的底邊長為(a-2

3

x)----（1分）．
則V(x)=

3

4

(a-2

3

x)2x．-------------------------（3分）
函數的定義域為(0，

3

6

a)．-------------------------（4分）
（Ⅱ）實際問題歸結為求函數V（x）在區間(0，

3

6

a)上的最大值點．
先求V（x）的極值點．
在開區間(0，

3

6

a)內，V′(x)=9

3

x2-6ax+

3

4

a2--------------------（6分）
令V'（x）=0，即令9

3

x2-6ax+

3

4

a2=0，解得x1=

3

18

a，x2=

3

6

a（舍去）．
因為x1=

3

18

a在區間(0，

3

6

a)內，x₁可能是極值點．
當0＜x＜x₁時，V'（x）＞0；當x1＜x＜

3

6

a時，V'（x）＜0．---------------------（8分）
因此x₁是極大值點，且在區間(0，

3

6

a)內，x₁是唯一的極值點，
所以x=x1=

3

18

a是V（x）的最大值點，并且最大值 f(

3

18

a)=

1

54

a3
即當正三棱柱形容器高為

3

18

a時，容器的容積最大為

1

54

a3．-------------------（10分）

點評：本題考查函數模型的構建，考查導數知識的運用，解題的關鍵是求出體積，利用導數知識求解．單峰函數，極值就是最值．