Question

【題目】定義域為的函數滿足：對于任意的實數都有成立，且當時， 恒成立，且是一個給定的正整數）．

（1）判斷函數的奇偶性，并證明你的結論；

（2）判斷并證明的單調性；若函數在上總有成立，試確定應滿足的條件；

（3）當時，解關于的不等式．

Answer 1

【答案】（1）為奇函數，證明見解析；（2）f（x）在（-∞，+∞）上是減函數,證明見解析；f（1）∈[-5，0）（3）①當時，原不等式的解集為或；②當時，原不等式的解集為；③當時，原不等式的解集為或}．

【解析】

（1）利用函數奇偶性的定義，結合抽象函數關系，利用賦值法進行證明;

（2）結合函數單調性的定義以及最值函數成立問題進行證明即可;

（3）利用抽象函數關系，結合函數奇偶性和單調性定義轉化為一元二次不等式，討論參數的范圍進行求解即可;

（1）f（x）為奇函數，證明如下；

由已知對于任意實數x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）恒成立．

令x=y=0，得f（0+0）=f（0）+f（0），所以f（0）=0．

令y=-x，得f（x-x）=f（x）+f（-x）=0．

所以對于任意x，都有f（-x）=-f（x）．

所以f（x）是奇函數．

（2）設任意x1，x2且x1＜x2，則x2﹣x1＞0，由已知f（x2﹣x1）＜0，

又f（x2﹣x1）＝f（x2）+f（﹣x1）＝f（x2）﹣f（x1）＜0

得f（x2）＜f（x1），

根據函數單調性的定義知f（x）在（﹣∞，+∞） 上是減函數．

所以f（x）在[﹣2，5]上的最大值為f（﹣2）．

要使f（x）≤10恒成立，當且僅當f（﹣2）≤10，

又因為f（﹣2）＝﹣f（2）＝﹣f（1+1）＝﹣2f（1）

所以f（1）≥﹣5．

又x＞1，f（x）＜0，

所以f（1）∈[﹣5，0）．

（3）∵．，

∴f（ax2）-f（a2x）＞n2[f（x）-f（a）]．

所以f（ax2-a2x）＞n2f（x-a），

所以f（ax2-a2x）＞f[n2（x-a）]，

因為f（x）在（-∞，+∞）上是減函數，

所以ax2-a2x＜n2（x-a）．

即（x-a）（ax-n2）＜0，

因為a＜0，所以（x-a）（x）＞0．

討論：

①當a＜＜0，即a＜-n時，原不等式的解集為{x|x＞或x＜a}；

②當a=，即a=-n時，原不等式的解集為{x|x≠-n}；

③當＜a＜0，即-n＜a＜0時，原不等式的解集為{x|x＞a或x＜}．