Question

已知某類學習任務的掌握程度y與學習時間t（單位時間）之間的關系為y=f（t）=

1

1+a•2-bt

•100%，這里我們稱這一函數關系為“學習曲線”．已知這類學習任務中的某項任務有如下兩組數據：t=4，y=50%；t=8，y=80%．
（Ⅰ）試確定該項學習任務的“學習曲線”的關系式f（t）；
（Ⅱ）若定義在區間[x₁，x₂]上的平均學習效率為η=

y2-y1

x2-x1

，問這項學習任務從哪一刻開始的2個單位時間內平均學習效率最高．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意得

1 1+a•2-4b =0.5 1 1+a•2-8b =0.8

，由此能求出“學習曲線”的關系式．
（Ⅱ）設從第x個單位時間起的2個單位時間內的平均學習效率為η，令u=2^-0.5x，能推導出在從第3個單位時間起的2個單位時間內的平均學習效率最高．

解答：解：（Ⅰ）由題意得

1 1+a•2-4b =0.5 1 1+a•2-8b =0.8

，
整理得

a•2-4b=1 a•2-4b= 1 4

，解得a=4，b=0.5，
所以“學習曲線”的關系式為y=

1

1+4•2-0.5t

•100%．
（Ⅱ）設從第x個單位時間起的2個單位時間內的平均學習效率為η，則η=

1 1+4•2-0.5(x+2) - 1 1+4•2-0.5x

(x+2)-x

=

2-0.5x

(1+2•2-0.5x)(1+4•2-0.5x)

令u=2^-0.5x，則η=

u

(1+2u)(1+4u)

=

1

1 u +8u+6

，
顯然當

1

u

=8u，即u=

2

4

時，η最大，
將u=

2

4

代入u=2^-0.5x，得x=3，
所以，在從第3個單位時間起的2個單位時間內的平均學習效率最高．

點評：本題考查函數在生產生活中的實際應用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．