Question

已知橢圓

x2

2

+y2=1的左右焦點分別為F₁，F₂，若過點P（0，-2）及F₁的直線交橢圓于A，B兩點，求△ABF₂的面積．

Answer 1

分析：根據題意，算出直線AB方程為y=-2x-2，與橢圓方程消去x得9y²+4y-4=0．設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），利用根與系數的關系結合配方的方法算出|y1-y2|=

4 10

9

，最后根據三角形面積公式即可算出△ABF₂的面積．

解答：解：由題意，得
∵橢圓

x2

2

+y2=1的左焦點為F₁（-1，0），點P（0，-2）
∴直線PF₁的斜率為k=-2，得直線AB方程為y=-2（x+1），化簡得y=-2x-2
由

y=-2x-2 x2 2 + y2 1 =1

消去x，可得9y²+4y-4=0，
設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
∴y₁+y₂=-

4

9

，y₁y₂=-

4

9

因此，可得|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

4 10

9

∵橢圓的焦距為|F₁F₂|=2
∴△ABF₂的面積為S =

1

2

|F1F2|•|y1-y2|=

4 10

9

．

點評：本題給出直線PF₁與橢圓相交于A、B兩點，求△ABF₂的面積．著重考查了橢圓的簡單幾何性質和直線與橢圓位置關系等知識，屬于中檔題．