Question

【題目】如圖，已知拋物線：，過直線上一點作直線交拋物線于，兩點，且點為中點、作直線交軸于點．

（1）求點的坐標；

（2）求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）設點，，中點，直線的斜率為，利用點差法得，寫出直線的方程可得的坐標；

（2）設出直線的方程，與拋物線方程聯立，利用弦長公式得，利用點到直線的距離公式得點到直線的距離，進而表示出的面積，利用基本不等式確定三角形面積的最大值．

設點，，中點，

直線的斜率為，（斜率顯然存在且不為0）．

由可得，

所以，故，

（1）直線：，即，解得點．

（2）因為直線經過點，直線的斜率為，

所以可得直線的方程是：，

由聯立可得，

所以，

所以，

又因為點到直線的距離為，

所以的面積為：

當時，的面積取到最大值．