Question

（2012•閘北區二模）如圖，P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n），…是曲線C：y2=

1

2

x(y≥0)上的點，A₁（a₁，0），A₂（a₂，0），…，A_n（a_n，0），…是x軸正半軸上的點，且△A₀A₁P₁，△A₁A₂P₂，…，△A_n-1A_nP_n，…均為斜邊在x軸上的等腰直角三角形（A₀為坐標原點）．
（1）寫出a_n-1、a_n和x_n之間的等量關系，以及a_n-1、a_n和y_n之間的等量關系；
（2）猜測并證明數列{a_n}的通項公式；
（3）設bn=

1

an+1

+

1

an+2

+

1

an+3

+…+

1

a2n

，集合B={b₁，b₂，b₃，…，b_n，…}，A={x|x²-2ax+a²-1＜0，x∈R}，若A∩B=∅，求實常數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）依題意利用等腰直角三角形的性質可得，xn=

an-1+an

2

，yn=

an-an-1

2

．
（2）由

y

2 n

=

1

2

xn得 (

an-an-1

2

)2=

1

2

×

an-1+an

2

，即(an-an-1)2=an-1+an，猜測an=

n(n+1)

2

，
再用數學歸納法進行證明．
（3）用裂項法求得bn=

1

an+1

+

1

an+2

+

1

an+3

+…+

1

a2n

的值為

2

(2n+ 1 n )+3

，由函數f(x)=2x+

1

x

在區間
[1，+∞）上單調遞增，且

lim

n→∞

bn=0，求得bn∈(0，

1

3

]，再由 A={x|x²-2ax+a²-1＜0，a∈R}=
{x|x∈（a-1，a+1）}，A∩B=φ，有a+1≤0，或a-1＞

1

3

，由此求得實常數a的取值范圍．

解答：解：（1）依題意利用等腰直角三角形的性質可得，xn=

an-1+an

2

，yn=

an-an-1

2

．…（4分）
（2）由

y

2 n

=

1

2

xn得 (

an-an-1

2

)2=

1

2

×

an-1+an

2

，
即(an-an-1)2=an-1+an，猜測an=

n(n+1)

2

．      …（2分）
證明：①當n=1時，可求得 a1=1=

1×2

2

，命題成立． …（1分）
②假設當n=k時，命題成立，即有ak=

k(k+1)

2

，…（1分）
則當n=k+1時，由歸納假設及(ak-ak-1)2=ak-1+ak，
得[ak+1-

k(k+1)

2

]2=

k(k+1)

2

+an+1，
即(ak+1)2-(k2+k+1)ak+1+[

k(k-1)

2

]•[

(k+1)(k+2)

2

]=0
解得ak+1=

(k+1)(k+2)

2

，（ak+1=

k(k-1)

2

＜ak不合題意，舍去），
即當n=k+1時，命題成立．   …（3分）
綜上所述，對所有n∈N^*，an=

n(n+1)

2

．      …（1分）
（3）bn=

1

an+1

+

1

an+2

+

1

an+3

+…+

1

a2n

=

2

(n+1)(n+2)

+

2

(n+2)(n+3)

+…+

2

2n(2n+1)

=

2

n+1

-

2

2n+1

=

2n

2n2+3n+1

=

2

(2n+ 1 n )+3

．…（2分）
因為函數f(x)=2x+

1

x

在區間[1，+∞）上單調遞增，且

lim

n→∞

bn=0，
所以bn∈(0，

1

3

]．…（2分）
A={x|x²-2ax+a²-1＜0，a∈R}={x|x∈（a-1，a+1）}
由A∩B=φ，有a+1≤0，或 a-1≥

1

3

，
故，a∈(0，-1]∪[

4

3

，+∞)，即 實常數a的取值范圍為 (0，-1]∪[

4

3

，+∞)．…（2分）

點評：本題主要考查數學歸納法的應用，用裂項法對數列求和，兩個集合的交集的定義的應用，屬于難題．