Question

已知函數f（x）=（k-1）x+1（k∈R），且x∈[1，3]．
（1）當k=2時，求f（x）的值域；
（2）若函數f（x）在區間[1，3]內單調遞減，求實數k的取值范圍；
（3）若函數f（x）在區間[1，3]內的最小值為g（k），求g（k）的表達式．

Answer 1

分析：（1）把k=2代入函數的解析式，可得單調性，可得值域；（2）由題意可得k-1＜0，解不等式可得；（3）分類討論：①k-1＞0，②k-1=0，③k-1＜0，即k＜1時，由單調性分別可得最小值，綜合可得．

解答：解：（1）當k=2時，f（x）=x+1，可知函數在R上單調遞增，
∴f （x）在[1，3]上單調遞增，
∴f（x）_min=f（1）=2，f（x）_max=f（3）=4，
∴f（x）的值域為[2，4]；
（2）由函數f（x）在區間[1，3]單調遞減知，k-1＜0，解得k＜1，
∴實數k的取值范圍為（-∞，1）；
（3）分類討論：①當k-1＞0，即k＞1時，函數在區間[1，3]內單調遞增，
∴g（k）_min=f（1）=k；
②當k-1=0，即k=1時，g（k）_min=1；
③當k-1＜0，即k＜1時，函數在區間[1，3]內單調遞減，
g（k）_min=f（3）=3k-2；
綜上可得g(k)=

k，k＞1 3k-2，k≤1

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點評：本題考查函數的單調性和函數的值域，涉及分類討論的思想，屬中檔題．