Question

（09年雅禮中學月考理）（13分）

定義：將一個數列中部分項按原來的先后次序排列所成的一個新數列稱為原數列的一個子數列．已知無窮等比數列的首項和公比均為．

   （１）試求無窮等比子數列（）各項的和；

   （２）已知數列的一個無窮等比子數列各項的和為，求這個子數列的通項公式；

   （３）證明：在數列的所有子數列中，不存在兩個不同的無窮等比子數列，使得它們各項的和相等．

Answer 1

解析：（１）依條件得： 則無窮等比數列各項的和為：

．   ……………………………………………………………………3分

（２）解法一：設子數列的首項為，公比為，由條件得：，

則，即 ，  ．

而  ，則 ．

所以，滿足條件的無窮等比子數列存在且唯一，它的首項．公比均為，

其通項公式為，．    ………………………………………………7分

解法二：由條件，可設此子數列的首項為，公比為．

由………… ①

又若，則對每一，都有………… ②

從①、②得；則；

因而滿足條件的無窮等比子數列存在且唯一，此子數列是首項．公比均為無窮等比子數列，通項公式為，．  …………………………………………7分

（３）假設存在原數列的兩個不同的無窮等比子數列，使它們的各項和相等．設這兩個

子數列的首項與公比分別為和，其中且或，則………… ①

若且，則①，矛盾；若且，則①

，矛盾；故必有且，不妨設，則

．

①………… ②

②

或

，兩個等式的左,右端的奇偶性均矛盾．

故不存在原數列的兩個不同的無窮等比子數列，使得它們的各項和相等． ………13分