Question

已知{a_n}是首項為1的等比數列，S_n是{a_n}的前n項和，且9S₃=S₆
（1）求{a_n}的通項公式a_n；
（2）若數若數列{b_n}滿足：b₁=

1

a1

，b₂=

1

a1

+

1

a2

，b₃=

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

，b_n=

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

，設數列{b_n}的前n項和為T_n，求證：T_n＞2n-2．

Answer 1

考點：數列的求和,等比數列的前n項和

專題：等差數列與等比數列

分析：由已知條件推導出an=2n-1，從而得到b_n=2-

2

2n

，由此利用分組求和法求出T_n=2n+

2

2n

-2，從而能夠證明T_n＞2n-2．

解答： 解：∵{a_n}是首項為1的等比數列，S_n是{a_n}的前n項和，且9S₃=S₆，
∴a₁=1，

9a1(1-q3)

1-q

=

a1(1-q6)

1-q

，
即9-9q³=1-q⁶，解得q³=8或q³=1（舍），∴q=2．
∴an=2n-1，
∴b_n=

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

=

1×(1- 1 2n )

1- 1 2

=2-

2

2n

，
∴T_n=2-

2

2

+2-

2

22

+2-

2

23

+…+2-

2

2n

=2n-2（

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

）
=2n-2•

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=2n-（2-

2

2n

）
=2n+

2

2n

-2，
∴T_n＞2n-2．

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查不等式的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意分組求和法的合理運用．