Question

已知函數y=ax³+bx²，當x=1時，有極大值3．
（1）求a，b的值；
（2）求函數y的極小值．

Answer 1

分析：（1）求出y′，由x=1時，函數有極大值3，所以代入y和y′=0中得到兩個關于a、b的方程，求出a、b即可；
（2）令y′=0得到x的取值利用x的取值范圍討論導函數的正負決定函數的單調區間，得到函數的極小值即可．

解答：解：（1）y′=3ax²+2bx，當x=1時，y′|_x=1=3a+2b=0，y|_x=1=a+b=3，
即

3a+2b=0 a+b=3

，a=-6，b=9
（2）y=-6x³+9x²，y′=-18x²+18x，令y′=0，得x=0，或x=1
當x＞1或x＜0時，y′＜0函數為單調遞減；當0＜x＜1時，y′＞0，函數單調遞增．
∴y_極小值=y|_x=0=0．

點評：考查學生利用導數研究函數極值的能力，以及會用待定系數法球函數解析式的能力．