Question

已知數列的前n項和為，且滿足，.
（1）求數列的通項公式；
（2）設為數列{}的前n項和，求；
（3）設，證明：.

Answer 1

(1)  (2)  （3）見解析

試題分析：
(1)當帶入式子結合即可得到的值,當時,利用與的關系()即可得到是一個常數,即可得到數列為等差數列,但是需要驗證是否符合,進而證明為等差數列,即可求的通項公式.
(2)把(1)中得到的的通項公式帶入可得,即為等差數列與等比數列的乘積,故需要利用錯位相減法來求的前n項和.
(3)把(1)得到的帶入,觀察的通項公式為分式,為求其前n項和可以考慮利用裂項求和法.進行裂項,在進行求和就可以得到的前n項和為,利用非負即可證明原不等式.
試題解析：
（1）由題意，當時，有，     （1分）
兩式相減得 即.           （2分）
由，得.
所以對一切正整數n，有，                        （3分）
故，即.                （4分）
（2）由（1），得，
所以 ①                           （5分）
①兩邊同乘以，得 ②          （6分）
①-②，得，                 （7分）
所以，                                    （8分）
故.                    （9分）
（3）由（1），得 （12分）

                  （13分）
.              （14分）