Question

【題目】已知函數f(x)＝alnx－bx2，a，b∈R.若不等式f(x)≥x對所有的b∈(－∞，0]，x∈(e，e2]都成立，則實數a的取值范圍是(　　)

A. [e，＋∞)B. [，＋∞)

C. [，e2)D. [e2，＋∞)

Answer 1

【答案】B

【解析】

將問題逐步進行轉化．由題意得到對所有的x∈(e，e2]恒成立，由于b≤0，故只需對任意的x∈(e，e2]恒成立，再進一步轉化為alnx≥x，即對任意的x∈(e，e2]恒成立，只需求出函數的最大值即可．

由題意可得bx2≤alnx－x對所有的b∈(－∞，0]，x∈(e，e2]恒成立，

所以對所有的x∈(e，e2]恒成立．

由于b∈(－∞，0]，

所以對任意的x∈(e，e2]，都有恒成立，

即alnx≥x對所有的x∈(e，e2]恒成立，

所以對所有的x∈(e，e2]恒成立．

令，則h′(x)＝>0，

所以h(x)在區間(e，e2]上單調遞增，

故h(x)max＝h(e2)=．

所以a≥.

所以實數a的取值范圍是[，＋∞)．

故選B.