Question

橢圓C：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的上下焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，在x軸的兩端點分別為A，B，四邊形F₁AF₂B是邊長為4的正方形．
（1）求橢圓方程；
（2）過點P（0，3）作直線l交橢圓與M，N兩點，且

MP

=3

PN

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）由四邊形F₁AF₂B是邊長為4的正方形，可得b，c的值，進而可求a值，即可求得橢圓方程；
（2）設出直線l的方程，代入橢圓方程，利用韋達定理，及

MP

=3

PN

，即可求直線l的方程．

解答：解：（1）由題意，b=c=2

2

，∴a²=b²+c²=16，∴橢圓方程為

y2

16

+

x2

8

=1；
（2）設直線l的方程為y=kx+3，代入橢圓方程，可得（k²+2）x²+6kx-7=0
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=

-6k

k2+2

，x₁x₂=

-7

k2+2

∵

MP

=3

PN

，∴x₁=-3x₂，
∴-2x₂=

-6k

k2+2

，-3x₂²=

-7

k2+2

∴(

-3k

k2+2

)2=

7

3(k2+2)

∴27k²=7k²+14
∴k²=

7

10

∴k=±

70

10

∴直線l的方程為y=±

70

10

x+3．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．