Question

已知(

x

+

2

x

)n的展開式中第5項的系數與第3項的系數比為56：3，則該展開式中x²的系數

 

．

Answer 1

分析：根據題意，首先寫出(

x

+

2

x

)n的展開式，進而根據其展開式中第5項的系數與第3項的系數比為56：3，可得

C 4 n ×24

C 2 n ×22

=

56

3

，
化簡并解可得n的值，即可得出(

x

+

2

x

)n的展開式，結合其展開式，可得

1

2

(10-k)-k=2，解可得k的值，代入可得答案．

解答：解：根據題意，(

x

+

2

x

)n的展開式為T_r+1=C_n^r（

x

）^n-r（

2

x

）^r=C_n^r（2）^rx

n-3r

2

，
又有其展開式中第5項的系數與第3項的系數比為56：3，可得

C 4 n ×24

C 2 n ×22

=

56

3

，
即（n-2）（n-3）=56，
解可得，n=10，
則Tk+1=

C

k 10

x

1

2

(10-k)-k×2k，
由

1

2

(10-k)-k=2得k=2，
從而C₁₀²×2²=180；
故答案為：180．

點評：本題考查二項式系數的性質，注意把握x的系數與二項式系數的區別．