Question

【題目】如圖1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2．將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到幾何體D﹣ABC，如圖2所示．

（1）求證：BC⊥平面ACD；
（2）求幾何體D﹣ABC的體積．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：

【證法一】：在圖1中，由題意知， ，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC

取AC中點O，連接DO，則DO⊥AC，又平面ADC⊥平面ABC，

且平面ADC∩平面ABC=AC，DO平面ACD，從而OD⊥平面ABC，

∴OD⊥BC

又AC⊥BC，AC∩OD=O，

∴BC⊥平面ACD

【證法二】：在圖1中，由題意，得 ，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC

∵平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC=AC，BC面ABC，∴BC⊥平面ACD

（2）

解：由（1）知，BC為三棱錐B﹣ACD的高，且 ，S△ACD= ×2×2=2，

所以三棱錐B﹣ACD的體積為： ，

由等積性知幾何體D﹣ABC的體積為： ．

【解析】（1）解法一：由題中數量關系和勾股定理，得出AC⊥BC，再證BC垂直與平面ACD中的一條直線即可，△ADC是等腰Rt△，底邊上的中線OD垂直底邊，由面面垂直的性質得OD⊥平面ABC，所以OD⊥BC，從而證得BC⊥平面ACD；
解法二：證得AC⊥BC后，由面面垂直，得線面垂直，即證．（2），由高和底面積，求得三棱錐B﹣ACD的體積即是幾何體D﹣ABC的體積．