Question

已知橢圓方程為=1，橢圓長軸的左、右頂點分別為A₁、A₂，P是橢圓上任一點，引A₁Q⊥A₁P，A₂Q⊥A₂P，且A₁Q與A₂Q的交點為Q，求點Q的軌跡方程.

Answer 1

思路分析：本題為求點的軌跡方程問題，求點的軌跡方程問題用一般方法可以求解，直接尋找點的橫、縱坐標間的關系較麻煩，利用參數方程，尋求橫、縱坐標間的間接關系，然后消去參數的方法則相對較簡單，即消參法求軌跡方程，是求軌跡的一種常用方法.

解：設橢圓的參數方程為(θ為參數,且0≤θ＜2π).則P點坐標為（acosθ,bsinθ），由題意知cosθ≠1，sinθ≠0.

∵=,=,

∴=,=.

∴A₁Q的方程為y=(x+a),①

A₂Q的方程為y=(x-a).②

①×②，得y²=·(x²-a²)=(x²-a²).

化簡整理，得1(λ≠0),即為所求的軌跡方程.