Question

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系中，曲線的普通方程為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的普通方程；

（2）直線與曲線在第一象限內(nèi)的交點為，過點的直線交曲線于兩點，且的中點為，求直線的斜率.

Answer 1

【答案】(1) 的極坐標(biāo)方程,曲線的普通方程 (2)-4

【解析】

（1）對于，根據(jù)圓心和半徑，得出其極坐標(biāo)方程，對于，利用消去參數(shù)，化簡為直角坐標(biāo)方程.（2）求出直線的參數(shù)方程，代入得到關(guān)于的一元二次方程，利用韋達定理以及直線參數(shù)的幾何意義列方程，由此求得直線的斜率.

（1）曲線的圓心極坐標(biāo)為，半徑為1，所以，其極坐標(biāo)方程為.

由題意得：，，曲線的普通方程.

（2）當(dāng)時，，，所以，

于是直線的參數(shù)方程為（為傾斜角，為參數(shù)），

代入的普通方程，整理得關(guān)于的方程

.①

因為曲線截直線所得線段的中點在內(nèi)，設(shè)對應(yīng)的參數(shù)為，，則.

由韋達定理得：，，.

所以，直線的斜率為-4.