Question

已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，右頂點(diǎn)為A（1，0），點(diǎn)P、Q在雙曲線的右支上，點(diǎn)M（m，0）到直線AP的距離為1，
（Ⅰ）若直線AP的斜率為k，且|k|∈，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)m=+1時(shí)，△APQ的內(nèi)心恰好是點(diǎn)M，求此雙曲線的方程。

Answer 1

解：(Ⅰ)由條件得直線AP的方程y=k（x-1）（k≠0），即kx-y-k=0，
又因?yàn)辄c(diǎn)M到直線AP的距離為1，
所以，得，
∵，
∴，解得+1≤m≤3或-1≤m≤1-，
∴m的取值范圍是。
(Ⅱ)可設(shè)雙曲線方程為，
由，得，
又因?yàn)镸是ΔAPQ的內(nèi)心，M到AP的距離為1，所以∠MAP=45°，
直線AM是∠PAQ的角平分線，且M到AQ、PQ的距離均為1，
因此，（不妨設(shè)P在第一象限）
直線PQ方程為，
直線AP的方程y=x-1，
∴解得P的坐標(biāo)是（2+，1+），
將P點(diǎn)坐標(biāo)代入得，
所以所求雙曲線方程為，即。