Question

如圖，已知圓O的直徑AB=4，定直線L到圓心的距離為4，且直線L垂直直線AB。點P是圓O上異于A、B的任意一點，直線PA、PB分別交L與M、N點。
（Ⅰ）若∠PAB=30°，求以MN為直徑的圓方程；
（Ⅱ）當點P變化時，求證：以MN為直徑的圓必過圓O內的一定點。  

Answer 1

解：建立如圖所示的直角坐標系，
⊙O的方程為，
直線L的方程為。
（Ⅰ）∵∠PAB=30°，∴點P的坐標為，
∴，。
將x=4代入，得。
∴MN的中點坐標為（4，0），MN=。
∴以MN為直徑的圓的方程為。
同理，當點P在x軸下方時，所求圓的方程仍是。
（Ⅱ）設點P的坐標為，∴（），∴。
∵，
將x=4代入，得，
。∴，MN=。
MN的中點坐標為。
以MN為直徑的圓截x軸的線段長度為
為定值。
∴⊙必過⊙O 內定點。

略