Question

【題目】某工程設備租賃公司為了調查A，B兩種挖掘機的出租情況，現隨機抽取了這兩種挖掘機各100臺，分別統計了每臺挖掘機在一個星期內的出租天數，統計數據如下表： A型車挖掘機

出租天數	1	2	3	4	5	6	7
車輛數	5	10	30	35	15	3	2

B型車挖掘機

出租天數	1	2	3	4	5	6	7
車輛數	14	20	20	16	15	10	5

（Ⅰ）根據這個星期的統計數據，將頻率視為概率，求該公司一臺A型挖掘機，一臺B型挖掘機一周內合計出租天數恰好為4天的概率；
（Ⅱ）如果A，B兩種挖掘機每臺每天出租獲得的利潤相同，該公司需要從A，B兩種挖掘機中購買一臺，請你根據所學的統計知識，給出建議應該購買哪一種類型，并說明你的理由．

Answer 1

【答案】解：（I）設“事件Ai表示一臺A型挖掘機在一周內出租天數恰好為i天”，

“事件Bj表示一臺B型挖掘機在一周內出租天數恰好為j天”，其i，j=1，2，…，7．則該公司一臺A型挖掘機，一臺B型挖掘機一周內合計出租天數恰好為4天的概率為P（A1B3+A2B2+A3B1）=P（A1B3）+P（A2B2）+P（A3B1）=P（A1）P（B3）+P（A2）P（B2）+P（A3）P（B1）= + + = ．

所以該公司一臺A型車，一臺B型車一周內合計出租天數恰好為4天的概率為 ．

（Ⅱ）設X為A型挖掘機出租的天數，則X的分布列為

X	1	2	3	4	5	6	7
P	0.05	0.10	0.30	0.35	0.15	0.03	0.02

設Y為B型挖掘機出租的天數，則Y的分布列為

Y	1	2	3	4	5	6	7
P	0.14	0.20	0.20	0.16	0.15	0.10	0.05

EX=1×0.05+2×0.10+3×0.30+4×0.35+5×0.15+6×0.03+7×0.02=3.62．

EY=1×0.14+2×0.20+3×0.20+4×0.16+5×0.15+6×0.10+7×0.05=3.48．

一臺A類型的挖掘機一個星期出租天數的平均值為3.62天，一臺輛B類型的挖掘機一個星期出租天數的平均值為3.48天，選擇A類型的挖掘機更加合理

【解析】（I）設“事件Ai表示一臺A型挖掘機在一周內出租天數恰好為i天”，“事件Bj表示一臺B型挖掘機在一周內出租天數恰好為j天”，其i，j=1，2，…，7．則該公司一臺A型挖掘機，一臺B型挖掘機一周內合計出租天數恰好為4天的概率為P（A1B3+A2B2+A3B1）=P（A1B3）+P（A2B2）+P（A3B1）=P（A1）P（B3）+P（A2）P（B2）+P（A3）P（B1），代入概率計算即可得出．（II）利用頻率可得概率，分別得出X，Y的分布列，即可得出數學期望．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解離散型隨機變量及其分布列的相關知識，掌握在射擊、產品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列．