Question

對數列{a_n}，規定{Va_n}為數列{a_n}的一階差分數列，其中Va_n=a_n+1-a_n（n∈N^*）．對正整數k，規定{V^ka_n}為{a_n}的k階差分數列，其中V^ka_n=V^k-1a_n+1-V^k-1a_n=V（V^K-1a_n）（規定V⁰a_n=a_n）．
（Ⅰ）已知數列{a_n}的通項公式a_n=n²+n（n∈N^*），是判斷{Va_n}是否為等差數列，并說明理由；
（Ⅱ）若數列{a_n}的首項a₁=1，且滿足V²a_n-Va_n+1+a_n=-2ⁿ（n∈N^*），求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據題意：△a_n=a_n+1-a_n=（n+1）²+（n+1）-（n²+n）=2n+2，所以△a_n+1-△a_n=2．由此能夠判斷{△a_n}是等差數列．
（Ⅱ）由△²a_n-△a_n+1+a_n=-2ⁿ，知△a_n+1-△a_n-△a_n+1+a_n=-2ⁿ，所以△a_n-a_n=2ⁿ．由此入手能夠求出數列{a_n}的通項公式．

解答：解：（Ⅰ）△a_n=a_n+1-a_n=（n+1）²+（n+1）-（n²+n）=2n+2 …（4分）
則△a_n+1-△a_n=2，
所以△a_n是首項為4，公差為2的等差數列．…（6分）
（Ⅱ）△²a_n-△a_n+1+a_n=-2ⁿ，即△a_n+1-△a_n-△a_n+1+a_n=-2ⁿ
而△a_n=a_n+1-a_n，所以a_n+1-2a_n=2ⁿ，∴

an+1

2n+1

-

an

2n

=

1

2

，（6分）
∴數列{

an

2n

}構成以

1

2

為首項，

1

2

為公差的等差數列，
即

an

2n

=

n

2

⇒a_n=n•2^n-1．（7分）

點評：本題以新定義為載體，第（Ⅰ）題考查等差數列的判斷，解題時要注意等差數列性質的合理運用；第（Ⅱ）題考查數列通項公式的求解方法，解題時要注意構造法的合理運用．