Question

如圖所示，拋物線y²=4x的頂點為O，點A的坐標為(5，0)，傾斜角為的直線l與線段OA相交(不經過點O或點A)且交拋物線于M、N兩點，求△AMN面積最大時直線l的方程，并求△AMN的最大面積.

Answer 1

直線l的方程為y=x－1，△AMN的最大面積為8.

由題意，可設l的方程為y=x+m,－5＜m＜0.
由方程組,消去y,得x²+(2m－4)x+m²="0                    "         ①
∵直線l與拋物線有兩個不同交點M、N，
∴方程①的判別式Δ=(2m－4)²－4m²=16(1－m)＞0,
解得m＜1,又－5＜m＜0,∴m的范圍為(－5，0)
設M(x₁,y₁),N(x₂,y₂)則x₁+x₂=4－2m，x₁·x₂=m²,
∴|MN|=4.
點A到直線l的距離為d=.
∴S_△=2(5+m),從而S_△²=4(1－m)(5+m)²
=2(2－2m)·(5+m)(5+m)≤2()³=128.
∴S_△≤8,當且僅當2－2m=5+m,即m=－1時取等號.
故直線l的方程為y=x－1，△AMN的最大面積為8.