Question

設函數f(x)=

1

3

x3-

a

2

x2+bx+c，其中a＞0，曲線y=f（x）在點P（0，f（0））處的切線方程為y=1．
（Ⅰ）確定b，c的值；
（Ⅱ）設曲線y=f（x）在點（x₁，f（x₁））及（x₂，f（x₂））處的切線都過點（0，2）．證明：當x₁≠x₂時，f′（x₁）≠f′（x₂）；
（Ⅲ）若過點（0，2）可作曲線y=f（x）的三條不同切線，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f(x)=

1

3

x3-

a

2

x2+bx+c得：f（0）=c，f'（x）=x²-ax+b，f'（0）=b．由此能求出b和c．
（Ⅱ）f(x)=

1

3

x3-

a

2

x2+1，f′(x)=x2-ax，由于點（t，f（t））處的切線方程為y-f（t）=f'（t）（x-t），而點（0，2）在切線上，所以2-f（t）=f'（t）（-t），由此利用反證法能夠證明f'（x₁）≠f'（x₂）．
（Ⅲ）過點（0，2）可作y=f（x）的三條切線，等價于方程2-f（t）=f'（t）（0-t）有三個相異的實根，即等價于方程

2

3

t3-

a

2

t2+1=0有三個相異的實根．由此能求出a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由f(x)=

1

3

x3-

a

2

x2+bx+c，
得：f（0）=c，f'（x）=x²-ax+b，f'（0）=b．
又由曲線y=f（x）在點P（0，f（0））處的切線方程為y=1，
得f（0）=1，f'（0）=0．
故b=0，c=1．
（Ⅱ）f(x)=

1

3

x3-

a

2

x2+1，f′(x)=x2-ax，
由于點（t，f（t））處的切線方程為y-f（t）=f'（t）（x-t），
而點（0，2）在切線上，
所以2-f（t）=f'（t）（-t），
化簡得

2

3

t3-

a

2

t2+1=0．
即t滿足的方程為

2

3

t3-

a

2

t2+1=0．
下面用反證法證明．
假設f'（x₁）=f'（x₂），
由于曲線y=f（x）在點（x₁，f（x₁））及（x₂，f（x₂））處的切線都過點（0，2），
則下列等式成立：

2 3 x 3 1 - a 2 x 2 1 +1=0   (1) 2 3 x 3 2 - a 2 x 2 2 +1 =0       (2) x 2 1 -ax1= x 2 2 -ax2   (3)

由（3）得x₁+x₂=a，
由（1）-（2）得

x

2 1

+x&1x2+

x

2 2

=

3

4

a2  (4)
又

x

2 1

+x1x2+

x

2 2

=(x1+x2)2-x1x2=a2-x1(a-x1)=

x

2 1

-ax1+a2=(x1-

a

2

)2+

3

4

a2≥

3

4

a2，
故由（4）得x1=

a

2

，
此時x2=

a

2

與x₁≠x₂矛盾，
所以f'（x₁）≠f'（x₂）．
（Ⅲ）故（Ⅱ）知，過點（0，2）可作y=f（x）的三條切線，
等價于方程2-f（t）=f'（t）（0-t）有三個相異的實根，
即等價于方程

2

3

t3-

a

2

t2+1=0有三個相異的實根．
設g(t)=

2

3

t3-

a

2

t2+1，則g′(t)=2t2-at=2t(t-

a

2

)．
由于a＞0，故有

t	（-∞，0）	0	(0， a 2 )	a 2	( a 2 ，+∞)
g'（t）	+	0	-	0	+
g（t）	↗	極大值1	↘	極小值1- a3 24	↗

由g（t）的單調性知：要使g（t）=0有三個相異的實根，當且僅當1-

a3

24

＜0，
即a＞2

3	3

．
∴a的取值范圍是(23

3

，+∞)

點評：本題主要考查函數、導數等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、分類與整合思想及有限與無限思想．