Question

已知函數f（x）=sin（ωx+φ），（ω＞0，，0＜φ＜π）的一系列對應值如表：

x	- π 12	π 6	5π 12	2π 3	11π 12
y	0	1	0	-1	0

（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分別是△ABC的對邊，若f(A)=

1

2

，c=2，a=

3

b，求△ABC的面積．

Answer 1

（Ⅰ）由題中表格給出的信息可知，函數f（x）的周期為T=

11π

12

-（-

π

12

）=π，
所以ω=

2π

π

=2，
又sin（2×

π

6

+φ）=1，且φ=2kπ+

π

2

-

π

3

=2kπ+

π

6

（k∈Z），
由0＜φ＜π，所以φ=

π

6

，
所以函數的解析式為f（x）=sin（2x+

π

6

）；
（Ⅱ）∵f（A）=

1

2

，∴sin（2A+

π

6

）=

1

2

，
又∵A為△ABC的內角，
∴

π

6

＜2A+

π

6

＜

13π

6

，
∴2A+

π

6

=

5π

6

，
∴A=

π

3

，
由a²=b²+c²-2bccosA，得（

3

b）²=b²+2²-2×2×b×

1

2

，
即b²+b-2=0，解得b=1或b=-2（舍去），
則S=

1

2

bcsinA=

1

2

×1×2×

3

2

=

3

2

．