Question

已知函數f（x）=2sinxcos（

π

2

-x）-2

3

sin（π+x）cosx
（1）求y=f（x）的最小正周期，并說明由函數y=sinx的圖象經過怎樣的平移伸縮變換可得到函數y=f（x）的圖象？
（2）若0≤x≤

π

2

，求函數y=f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由二倍角的余弦公式和輔助角公式，化簡得2sin（2x-

π

6

）+1，再結合正弦函數周期公式可得周期T=π，再由三角函數圖象變換的公式，可得函數f（x）圖象由y=sinx的圖象經過平移和伸縮變換的過程；
（2）根據題意，得到-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，再結合正弦函數圖象在區間[-

π

6

，

5π

6

]上的單調性，即可得到f（x）在區間[0，

π

2

]上的最大值與最小值．

解答：解：（1）∵cos（

π

2

-x）=sinx，sin（π+x）=-sinx，
∴f（x）=2sin²x+2

3

sinxcosx=1-cos2x+

3

sin2x=2sin（2x-

π

6

）+1，…（2分）
因此，f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π，…（3分）
該函數f（x）圖象是由y=sinx的圖象先右移

π

6

個單位，然后縱坐標不變橫坐標變為原來的

1

2

，
然后橫坐標不變縱坐標變為原來的2倍，最后上平移移1個單位而得．…（6分）
（2）∵0≤x≤

π

2

，∴-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

∴-

1

2

≤sin（2x-

π

6

）≤1，可得0≤2sin（2x-

π

6

）+1≤3…（9分）
∴函數y=f（x）的值域是[0，3]…（12分）

點評：本題給出三角函數式，求函數的單調區間和周期，并求在閉區間上的值域，著重考查了三角恒等變換和三角函數的圖象與性質等知識，屬于基礎題．