Question

已知函數，，其中且．

(Ⅰ)當，求函數的單調遞增區間；

(Ⅱ)若時，函數有極值，求函數圖象的對稱中心坐標；

（Ⅲ）設函數 （是自然對數的底數），是否存在a使在上為減函數，若存在，求實數a的范圍；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) 單調增區間是，；(II) ;（III）

【解析】

試題分析：(Ⅰ) 為確定函數的單調區間，往往遵循“求導數、求駐點、分區間討論導數的正負、確定函數的單調性”等步驟.

(Ⅱ) 為確定函數的極值，往往遵循“求導數、求駐點、分區間討論導數的正負、確定函數的極值”等步驟.

本小題根據函數有極值，建立的方程，求得，從而得到.根據的圖象可由的圖象向下平移4個單位長度得到，而的圖象關于對稱，

得到函數的圖象的對稱中心坐標.

（Ⅲ）假設存在a使在上為減函數，通過討論導函數為負數，得到的不等式，達到解題目的.

試題解析： (Ⅰ) (Ⅰ) 當，，  1分

設，即，

所以，或，  2分

單調增區間是，；  4分

(Ⅱ)當時，函數有極值，

所以，  5分

且，即，  6分

所以，

的圖象可由的圖象向下平移4個單位長度得到，而的圖象關于對稱，  7分

所以的圖象的對稱中心坐標為；  8分

（Ⅲ）假設存在a使在上為減函數，

設，

，

，  9分

設，

當在上為減函數，則在上為減函數，在上為減函數，且．  10分

由（Ⅰ）知當時，的單調減區間是，

由得：，

解得：，  11分

當在上為減函數時，對于，即恒成立，

因為，

（1）當時，在上是增函數，在是減函數，

所以在上最大值為，

故，

即，或，故；  12分

（2）當時，在上是增函數，在是減函數，

所以在上最大值為，

故，則與題設矛盾；  13分

（3）當時，在上是減函數，

所以在上最大值為，

綜上所述，符合條件的a滿足．  14分

考點：應用導數研究函數的單調性、極值，不等式的解法.