Question

如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是正方形，四個側面都是等邊三角形，AC與BD的交點為O，E為側棱SC上一點．
（1）當E為側棱SC的中點時，求證：SA∥平面BDE；
（2）求證：平面BED⊥平面SAC．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OE，當E為側棱SC的中點時，OE為△SAC的中位線，所以SA∥OE，由此能夠證明SA∥平面BDE．
（2）因為 SB=SD，O是BD中點，所以BD⊥SO，因為四邊形ABCD是正方形，所以BD⊥AC，因為AC∩SO=O，所以BD⊥平面SAC．由此能夠證明平面BDE⊥平面SAC．
解答：（本小題滿分12分）
證明：（1）連接OE，當E為側棱SC的中點時，OE為△SAC的中位線，
所以SA∥OE，（3分）
因為SA?平面BDE，OE?平面BDE，
所以SA∥平面BDE．（5分）
（2）因為SB=SD，O是BD中點，
所以BD⊥SO，（7分）
又因為四邊形ABCD是正方形，所以BD⊥AC，（9分）
因為AC∩SO=O，所以BD⊥平面SAC．（11分）
又因為BD?平面BDE，
所以平面BDE⊥平面SAC．（12分）
點評：本題考查SA∥平面BDE和平面BED⊥平面SAC的證明，解題時要認真審題，仔細解答，注意把空間幾何問題轉化為平面幾何問題進行求解．