Question

如圖，過拋物線x²=4y的對稱軸上任一點P（0，m）（m＞0）作直線與拋物線交于A，B兩點，點Q是點P關于原點的對稱點。

（1）設點P分有向線段所成的比為λ，證明：；
（2）設直線AB的方程是x-2y+12=0，過A，B兩點的圓C與拋物線在點A處有共同的切線，求圓C的方程。

Answer 1

解：（1）依題意，可設直線AB的方程為
代入拋物線方程得
①
設A、B兩點的坐標分別是、，則x₁，x₂是方程①的兩根
所以
由點P（0，m）分有向線段所成的比為，得
即
又點Q是點P關于原點的對稱點，
故點Q的坐標是（0，-m），從而




所以。
（2）由得點A、B的坐標分別是（6，9）、（-4，4）
由得
所以拋物線在點A處切線的斜率為
設圓C的方程是
則
解之得
所以圓C的方程是
即。