Question

如圖四棱錐P—ABCD，PD⊥平面ABCD，PA與平面ABCD成60°角，在四邊形ABCD中，∠D=∠DAB=90°,AB=4,CD=1,AD=2.

(1)若PB中點為M，求證平面AMC⊥平面PBC；

(2)求異面直線PA與BC所成的角.

Answer 1

解法一：（1）∵PA=2AD=4,PA=AB=4,M為PB的中點，?

∴AM⊥PB，PD=2，PC==BC，?

∴CM⊥PB，AM∩CM=M，?

∴PB⊥面AMC，?

∴面AMC⊥面PBC.?

(2)過點A作AE平行于BC交CD的延長線于E點，連PE.AE=BC=，PA=4，PE=，

cos∠PAE==，所以異面直線PA與BC所成的角為arccos.

解法二：建立空間直角坐標系，以D點為原點，以DA所在直線為x軸，以DC所在直線為y軸，以DP所在直線為z軸.?

（1）M(1,2,),B(2,4,0),=(-1,2,),=(1,1,),=(2,4,-2),

∴·=0，·=0，

∴面AMC⊥面PBC.?

(2)=(2,0,-2),=(-2,-3,0,),cos〈,〉=-.?

∴異面直線PA與BC所成的角為arccos.