Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

ax3-

1

2

x2-2ax+b(a，b∈R)
（1）試求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在x=2處有極值，且f（x）圖象與直線y=4x有三個公共點，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求導函數(shù)，討論a的正負，然后解f'（x）＞0的解集，從而求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）先根據(jù)極值求出a的值，令g(x)=f(x)-4x=

1

3

x3-

1

2

x2-6x+b，然后利用導數(shù)求出函數(shù)的兩個極值點，要使f（x）圖象與y=4x有三個公共點，只需極大值大于0，極小值小于0，建立關(guān)系式，即可求出b的范圍．

解答：解：（1）f'（x）=ax²-x-2a
當a=0時，f'（x）=-x＞0?x＜0
當a≠0時，△=1+8a²＞0，方程f'（x）=0有不相等的兩根為x1，x2=

1± 1+8a2

2a

1°當a＞0時，f′(x)＞0?x＜

1- 1+8a2

2a

或x＞

1+ 1+8a2

2a

2°當a＜0時，f′(x)＞0?

1+ 1+8a2

2a

＜x＜

1- 1+8a2

2a

綜上：當a=0時，f（x）在（-∞，0）上遞增
當a＞0時，f（x）在(-∞，

1- 1+8a2

2a

)，(

1+ 1+8a2

2a

，+∞)上遞增
當a＜0時，f（x）在(

1+ 1+8a2

2a

，

1- 1+8a2

2a

)上遞增
（2）∵f（x）在x=2處有極值，∴f'（2）=0，∴a=1
令g(x)=f(x)-4x=

1

3

x3-

1

2

x2-6x+b
∴g'（x）=x²-x-6=0?x=-2或3g'（x）＞0?x＜-2或x＞3g'（x）＜0?-2＜x＜3
∴g（x）在x=-2處有極大值，在x=3處有極小值
要使f（x）圖象與y=4x有三個公共點
則

g(-2)＞0 g(3)＜0

?-

22

3

＜b＜

27

2

，即b的取值范圍為(-

22

3

，

27

2

)

點評：本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)在某點取得極值的條件和函數(shù)圖象的交點問題，同時考查了計算能力，轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于中檔題．