Question

如圖，過拋物線y²=4x的焦點任作一條直線交拋物線于A，D兩點，若存在一定圓與直線交于B，C兩點，使|AB|•|CD|=1，則定圓方程為

（x-1）²+y²=1

．

Answer 1

分析：求出拋物線焦點F（1，0），設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由直線BC方程與拋物線y²=4x聯解，證出x₁x₂=1．根據拋物線的定義，得|AF|=x₁+1，|DF|=x₂+1，結合|AB|•|CD|=1恒成立，通過比較系數可得|BF|=|CF|=1，所以B、C在以F為圓心，半徑為1的圓上，由此不難確定所求圓的方程．

解答：解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），拋物線焦點為F
∵拋物線方程為y²=4x
∴2p=4，得

p

2

=1，所以F（1，0），直線BC方程可設為y=k（x-1）
由

y=k(x-1) y2=4x

消去y，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0
結合根與系數的關系，得x₁x₂=

k2

k2

=1
根據拋物線定義，得|AF|=x₁+

p

2

=x₁+1，|DF|=x₂+1，
∵不論直線BC怎樣變化，恒有|AB|•|CD|=（|AF|-|BF|）（|DF|-|CF|）=1，
∴（x₁+1-|BF|）（x₂+1-|CF|）=1，結合x₁x₂=1，得|BF|=|CF|=1
因此不論直線BC如何變化，總有點B、C到F的距離總等于1，說明B、C在以F為圓心，半徑為1的圓上，所以定圓方程為（x-1）²+y²=1
故答案為：（x-1）²+y²=1

點評：本題給出拋物線的焦點弦被定圓截得四條線段，在線段的積為定值的情況下求圓的方程，著重考查了拋物線的簡單性質、直線與拋物線的位置關系和圓的標準方程等知識，屬于中檔題．