Question

某單位決定對本單位職工實行年醫療費用報銷制度,擬制定年醫療總費用在2萬元至10萬元(包括2萬元和10萬元)的報銷方案,該方案要求同時具備下列三個條件：①報銷的醫療費用y(萬元)隨醫療總費用x(萬元)增加而增加；②報銷的醫療費用不得低于醫療總費用的50%；③報銷的醫療費用不得超過8萬元.
(1)請你分析該單位能否采用函數模型y＝0.05(x²+4x+8)作為報銷方案；
(2)若該單位決定采用函數模型y＝x-2lnx+a(a為常數)作為報銷方案，請你確定整數的值．(參考數據：ln2»0.69，ln10»2.3)

Answer 1

(1) 該函數模型不符合該單位報銷方案(2)

解析試題分析：(1)函數y=0.05(x²+4x+8)在[2,10]上是增函數，滿足條件①，  
當x=10時,y有最大值7.4萬元,小于8萬元,滿足條件③. 
但當x=3時,y=<,即y³不恒成立,不滿足條件②,
故該函數模型不符合該單位報銷方案.               
(2)對于函數模型y=x-2lnx+a，設f(x)= x-2lnx+a，則f ´(x)=1-=³0.
所以f(x)在[2，10]上是增函數，滿足條件①，
由條件②，得x-2lnx+a³，即a³2lnx-在xÎ[2，10]上恒成立，
令g(x)=2lnx-，則g´(x)=- =，由g´(x)>0得x<4，
\g(x)在(0，4)上增函數，在(4，10)上是減函數.
\a³g(4)=2ln4-2=4ln2-2.                           
由條件③，得f(10)=10-2ln10+a£8，解得a£2ln10-2.
另一方面，由x-2lnx+a£x，得a£2lnx在xÎ[2，10]上恒成立,
\a£2ln2,
綜上所述，a的取值范圍為[4ln2-2，2ln2]，
所以滿足條件的整數a的值為1.                
考點：函數單調性及最值
點評：求解本題先要正確理解已知中給定的各個條件，把握其實際為不等式恒成立問題，進而轉化為求函數最值