Question

指出下列各組命題中，p是q的什么條件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中選一種作答）
（1）在△ABC中，p：A＞B，q：sinA＞sinB

充要條件

（2）對于實數x，y，p：x+y≠8，q：x≠2或y≠6

充分不必要條件

（3）在△ABC中，p：sinA＞sinB，q：tanA＞tanB

既不充分也不必要條件

（4）已知x，y∈R，p：（x-1）²+（y-2）²=0，q：（x-1）（y-2）=0

充分非必要條件

Answer 1

分析：本題考查的知識點是充要條件的定義，（1）中根據正弦定義，我們易判斷在△ABC中，p：A＞B?a＞b?q：sinA＞sinB，然后根據充要條件的定義得到結論．（2）因為命題“若x=2且y=6，則x+y=8”是真命題，命題“若x+y=8，則x=2且y=6”是假命題，我們根據逆否命題真假性相同，易得結論．（3）取A=120°，B=30°，p不能推導出q；取A=30°，B=120°，q不能推導出p，根據充要條件的定義進行判斷，即可得到答案．（4）因為P={（1，2）}，Q={（x，y）|x=1或y=2}，P?Q，然后根據“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，即可判斷命題p與命題q的關系．

解答：解：（1）在△ABC中，有正弦定理知道：

a

sinA

=

b

sinB

∴sinA＞sinB?a＞b又由a＞b?A＞B
所以，sinA＞sinB?A＞B即p是q的充要條件
（2）因為命題“若x=2且y=6，則x+y=8”是真命題，故p⇒q，
命題“若x+y=8，則x=2且y=6”是假命題，故q不能推出p，
所以p是q的充分不必要條件
（3）取A=120°，B=30°，p不能推導出q；取A=30°，B=120°，q不能推導出p
所以，p是q的既不充分也不必要條件
（4）因為P={（1，2）}，Q={（x，y）|x=1或y=2}，P?Q，
所以，p是q的充分非必要條件．

點評：判斷充要條件的方法是：①若p⇒q為真命題且q⇒p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p⇒q為假命題且q⇒p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p⇒q為真命題且q⇒p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p⇒q為假命題且q⇒p為假命題，則命題p是命題q的即不充分也不必要條件．⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關系．