Question

函數y=f（x），是定義在[a，b]上的增函數，其中a，b∈R，且0＜b＜-a，已知y=f（x）無零點，設函數F（x）=f²（x）+f²（-x），對于F（x）有如下四個說法：①定義域是[-b，b]；②是偶函數；③最小值是0；④在定義域內單調遞增；其中正確說法的個數有（　　）

Answer 1

分析：根據題意，依次分析4個命題，對于①，對于F（x）=f²（x）+f²（-x），有a≤x≤b且a≤-x≤b，結合0＜b＜-a，可得-b≤x≤b，即F（x）的定義域為[-b，b]；①正確；對于②，對于F（x），由①的結論可知其定義域關于原點對稱，又有F（-x）=f²（-x）+f²（x），故F（x）是偶函數；②正確；對于③，無法判斷F（x）在定義域上的最值，故錯誤；對于④，由②的結論，F（x）是偶函數，則F（x）在定義域內不是單調函數，④錯誤；綜合可得答案．

解答：解：根據題意，依次分析4個命題，
①，對于F（x）=f²（x）+f²（-x），有a≤x≤b且a≤-x≤b，又由0＜b＜-a，則|b|＜|a|，可得-b≤x≤b，故F（x）的定義域為[-b，b]；①正確；
②，對于F（x）=f²（x）+f²（-x），由①的結論可知其定義域關于原點對稱，又有F（-x）=f²（-x）+f²（x），故F（x）是偶函數；②正確；
③，無法判斷F（x）在定義域上的最值，不一定有最小值，最小值也不一定為0；故錯誤；
④，由②的結論，F（x）是偶函數，關于原點對稱的區間上，函數的單調性相反，則F（x）在定義域內不是單調函數，④錯誤；
即①②兩個命題正確，
故選C．

點評：本題考查綜合函數奇偶性與單調性，解題的關鍵是利用轉化思想，把單調性與奇偶性結合起來．