Question

過雙曲線的右焦點F作實軸所在直線的垂線,交雙曲線于A,B兩點,設雙曲線的左頂點為M,若點M在以AB為直徑的圓的內部,則此雙曲線的離心率e的取值范圍為　　　　　　.

Answer 1

(2,+∞)

【思路點撥】設出雙曲線方程,表示出點F,A,B的坐標,由點M在圓內部列不等式求解.
解：設雙曲線的方程為-=1(a>0,b>0),右焦點F的坐標為(c,0),令A(c,),B(c,-),
所以以AB為直徑的圓的方程為(x-c)²+y²=.
又點M(-a,0)在圓的內部,所以有(-a-c)²+0<,
即a+c<⇒a²+ac<c²-a²,
⇒e²-e-2>0(e=),解得e>2或e<-1.
又e>1,∴e>2.