Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，，與交于點，，分別為，的中點.

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）求證：∥平面；

（Ⅲ）求證：平面.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見解析（Ⅲ）見解析

【解析】

（I）通過證明平面來證得平面平面.（II）取中點，連接，通過證明四邊形為平行四邊形，證得，由此證得∥平面.（III）通過證明平面證得，通過計算證明證得，由此證得平面.

證明：（Ⅰ）因為平面，

所以.

因為，，

所以平面.

因為平面，

所以平面平面.

（Ⅱ）取中點，連結，因為為的中點

所以，且.

因為為的中點，底面為正方形，

所以，且.

所以，且.

所以四邊形為平行四邊形.

所以.

因為平面且平面，

所以平面.

（Ⅲ）在正方形中，，

因為平面，

所以.

因為，

所以平面.

所以.

在△中，設交于.

因為，

且分別為的中點，

所以.所以.

設，由已知，

所以.所以.

所以.

所以，且為公共角，

所以△∽△.

所以.

所以.

因為，

所以平面.