Question

（13分）已知橢圓經過點，過右焦點F且不與x軸重合的動直線L交橢圓于兩點，當動直線L的斜率為2時，坐標原點O到L的距離為．
(Ⅰ) 求橢圓的方程；
(Ⅱ) 過F的另一直線交橢圓于兩點，且，當四邊形的面積S=時，求直線L的方程．

Answer 1

（1）（2）x-y-1=0或x+y-1=0

(Ⅰ)設F(c,0)，則直線L的方程為2x-y-2c=0，∵坐標原點O到L的距離為，
∴，c=1。………………………………………………………2分
∵橢圓經過點,∴,b=1,由得。
∴橢圓的方程為   ……………………………………………4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，直線L過點F(1,0)，設其方程為y=k(x-1)（），點A()，C（），
解得，。
∴，……………………………………………6分
=……………………………8分
∵過F的另一直線交橢圓于兩點，且，，
∴直線BD的方程為y=(x-1) 。
把式中k換成，類比可得，…………………………10分
∴四邊形的面積， …………11分
解得，∴直線L的方程為x-y-1=0或x+y-1="0" 。  ………………………13分