Question

【題目】【2015高考天津，文20】已知函數

（I）求的單調區間;

（II）設曲線與軸正半軸的交點為P,曲線在點P處的切線方程為,求證:對于任意的正實數,都有;

（III）若方程有兩個正實數根且,求證:.

Answer 1

【答案】（I） 的單調遞增區間是 ,單調遞減區間是;（II）見試題解析;（III）見試題解析.

【解析】

（I）由,可得 的單調遞增區間是 ,單調遞減區間是;（II）, ,證明 在單調遞增,在單調遞減,所以對任意的實數x, ,對于任意的正實數,都有;（III）設方程 的根為 ,可得,由在 單調遞減,得 ,所以 .設曲線 在原點處的切線為 方程 的根為 ,可得 ,由 在在 單調遞增,且 ,可得 所以 .

試題解析:（I）由,可得,當 ,即 時,函數 單調遞增;當 ,即 時,函數 單調遞減.所以函數 的單調遞增區間是 ,單調遞減區間是.

（II）設 ,則 , 曲線 在點P處的切線方程為 ,即,令 即 則.

由于在 單調遞減,故在 單調遞減,又因為,所以當時,,所以當時,,所以 在單調遞增,在單調遞減,所以對任意的實數x, ,對于任意的正實數,都有.

（III）由（II）知 ,設方程 的根為 ,可得,因為在 單調遞減,又由（II）知 ,所以 .類似的,設曲線 在原點處的切線為 可得 ,對任意的,有 即 .設方程 的根為 ,可得 ,因為 在 單調遞增,且 ,因此, 所以 .