Question

已知雙曲線的焦距為2c，離心率為e，若點(diǎn)（-1，0）與（1，0）到直線的距離之和，則e的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：首先將直線化成一般式的形式：bx-ay-ab=0，再利用點(diǎn)到直線的距離公式分別求出點(diǎn)（-1，0）與（1，0）到直線的距離，再解這兩個(gè)距離的和大于或等于，可得不等式，將此式平方，再利用平方關(guān)系將b²=c²-a²代入所得不等式，解之可得離心率e的取值范圍．
解答：解：將直線化成一般式的形式：bx-ay-ab=0
∴點(diǎn)（-1，0）到直線的距離為d₁=
點(diǎn)1，0）到直線的距離為d₂=
∵雙曲線中c²=a²+b²，且a＞1
∴d₁=，d₂=
∵點(diǎn)（-1，0）與（1，0）到直線的距離之和，
∴s=d₁+d₂==
∴⇒
將b²=c²-a²代入上式，得
整理，得4c⁴-25a²c²+25a⁴≤0
兩邊都除以a⁴，得
即4e⁴-25e²+25≤0⇒（4e²-5）（e²-5）≤0
∴⇒離心率e∈
故答案為：
點(diǎn)評(píng)：本題以求雙曲線離心率的范圍為例，著重考查了雙曲線的基本概念和一些簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了點(diǎn)到直線距離公式和不等式的解法，屬于中檔題．