Question

橢圓的焦點為F₁、F₂，過點F₁作直線與橢圓相交，被橢圓截得的最短的線段MN長為

16

5

，△MF₂N的周長為10，則橢圓的離心率e=

 

．

Answer 1

分析：不妨設橢圓的標準方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．由于被橢圓截得的最短的線段MN長為

16

5

，△MF₂N的周長為10．可得

2b2 a = 16 5 4a=10

，解得a，b，并利用離心率計算公式即可得出．

解答：解：不妨設橢圓的標準方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．
∵被橢圓截得的最短的線段MN長為

16

5

，△MF₂N的周長為10．
∴

2b2 a = 16 5 4a=10

，解得a=

5

2

，b²=4．
∴e=

c

a

=

1- b2 a2

=

3

5

．
故答案為：

3

5

．

點評：本題考查了橢圓的標準方程、定義及其性質，屬于基礎題．