Question

（文）已知a，b為常數，且a≠0，函數f（x）=-ax+b+axlnx，f（e）=2（e=2.71828…是自然對數的底數）．
（1）求實數b的值；
（2）求函數f（x）的單調區間；
（3）當a=1時，求函數的值域．

Answer 1

解：（1）由f（e）=-ae+b+aelne=b，且f（e）=2，得b=2．
（2）由（1）可得f（x）=-ax+2+axlnx．從而f′（x）=alnx．因為a≠0，故：
①當a＞0時，由f′（x）＞0得x＞1，由f′（x）＜0得0＜x＜1；　
②當a＜0時，由f′（x）＞0得0＜x＜1，由f′（x）＜0得x＞1．
綜上，當a＞0時，函數f（x）的單調遞增區間為（1，+∞），單調遞減區間為（0，1）；
當a＜0時，函數f（x）的單調遞增區間為（0，1），單調遞減區間為（1，+∞）．
（3）當a=1時，f（x）=-x+2+xlnx，f′（x）=lnx．
由（2）可得，當x在區間內變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x		（）	1	（1，e）	e
f′（x）		-	0	+
f（x）	2-	單調遞減	極小值1	單調遞增	2

又2-＜2，所以函數f（x）（x∈）的值域為[1，2]．
分析：（1）根據已知中f（x）=-ax+b+axlnx，求出f（e）=b，且f（e）=2，得b=2．
（2）求出導數f'（x）=alnx，利用導數與單調性的關系，分a＞0，a＜0兩種情形求解．
（3）當a=1時，f′（x）=ln，，求出導函數零點后，利用零點分段法，分類討論后，即可得到函數f（x）的值域．
點評：本題考查利用導數研究函數的單調性和在閉區間上的最值問題，屬于中檔、常規題．在（2）中涉及到了分類討論的思想方法．