Question

【題目】設函數.

（1）求的單調區間和極值；

（2）證明：若存在零點，則在區間上僅有一個零點.

Answer 1

【答案】（1）遞減區間是，遞增區間是，極小值；（2）證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）令，再列表可得：遞減區間是，遞增區間是，極小值；（2）由（1）知， ．由存在零點，當時，在區間上單調遞減，且是在區間上的唯一零點；當時，在區間上單調遞減，且在區間上僅有一個零點，綜上可知，若存在零點，則在區間上僅有一個零點．

試題解析：（1）由得，

由解得與在區間上的情況如下：

	-		+

所以，的單調遞減區間是，單調遞增區間是；

在處取得極小值．

（2）由（1）知，在區間上的最小值為．

因為存在零點，所以，從而，

當時，在區間上單調遞減，且，

所以是在區間上的唯一零點．

當時，在區間上單調遞減，且．

所以在區間上僅有一個零點，

綜上可知，若存在零點，則在區間上僅有一個零點．