Question

如圖（1），三棱錐P′-A′BC′中，P′A′⊥平面A′BC′，△A′BC′是正三角形，E是P′C′的中點；如圖（2），PA⊥平面ACD，∠ACD=90°，∠DAC=30°．若△P′A′C′≌△PAC，現將兩個三棱錐拼接成四棱錐P-ABCD，使得面△P′A′C′與面PAC完全重合．解答下列問題：
（1）圖（1）中，在邊P′B上是否存在點F，使得FE∥平面A′BC′？若存在，說出F點位置；若不存在，說明理由；
（2）在四棱錐P-ABCD中，已知PA=AC=

3

．
    ①求證：CD⊥AE；
    ②求棱錐E-ABCD的體積．

Answer 1

分析：（1）利用三角形中位線的性質，證明線線平行，再利用線面平行的判定，可得線面平行；
（2）①利用線面垂直的判定證明線面垂直，可得線線垂直；
②連接BE，ED，取AC中點G，連接EG，則EG∥PA，EG⊥平面ABCD，從而可求棱錐E-ABCD的體積．

解答：（1）解：取P′B中點F，連接FE，則FE∥BC′
∵FE?平面A′BC′，BC′?平面A′BC′，
∴FE∥平面A′BC′；
（2）如圖，由于P′A′⊥平面A′BC′，PA⊥平面ACD，∴A，B，C，D四點共面
①證明：∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD
∵AC⊥CD，PA∩AC=A
∴CD⊥平面PAC，∴CD⊥AE
②解：連接BE，ED，取AC中點G，連接EG，則EG∥PA
∵PA⊥平面ABCD，∴EG⊥平面ABCD，EG=

3

2

，…（10分）
又S四邊形=S正△ABC+SRt△ACD=

3

4

(

3

)2+

1

2

×

3

×1=

5 3

4

，…（11分）
則VE-ABCD=

1

3

S四邊形ABCD×EG=

1

3

×

5 3

4

×

3

2

=

5

8

；　　…（12分）

點評：本題考查線面平行，考查線面垂直，考查四棱錐體積的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．