Question

（附加題）是否存在常數c，使得不等式

x

2x+y+z

+

y

x+2y+z

+

z

x+y+2z

≤c≤

x

x+2y+z

+

y

x+y+2z

+

z

2x+y+z

對于任意正數x，y，z恒成立？試證明你的結論．

Answer 1

猜測常數c=

3

4

（可以猜測等號當且僅當x=y=z時成立）
左邊不等式的證明方法，令

2x+y+z=a x+2y+z=b x+y+2z=m

，則

x= 3a-b-m 4 y= 3b-a-m 4 z= 3m-a-b 4

，
∴左邊=

3a-b-m

4a

+

3b-a-m

4b

+

3m-a-b

4m

=

9

4

-(

b

4a

+

a

4b

)-(

m

4a

+

a

4m

)-(

b

4m

+

m

4b

)≤

3

4

右邊不等式的證明用柯西不等式證明，證法如下：
右邊=

x

x+2y+z

+

y

x+y+2z

+

z

2x+y+z

=

x2

x2+2xy+xz

+

y2

yx+y2+2yz

+

z2

2xz+yz+z2

=

( x2 x2+2xy+xz + y2 yx+y2+2yz + z2 2xz+yz+z2 )((x2+2xy+xz)+(yx+y2+2yz)+(2xz+yz+z2))

((x2+2xy+xz)+(yx+y2+2yz)+(2xz+yz+z2))

≥

(x+y+z)2

x2+y2+z2+3(xy+yz+xz)

，
于是要證明右邊不等式成立，只需證明

(x+y+z)2

x2+y2+z2+3(xy+yz+xz)

≥

3

4

，
即證4（x+y+z）²≥3[x²+y²+z²+3（xy+yz+xz）}
即證：x²+y²+z²≥xy+yz+xz
即證：（x-y）²+（y-z）²+（x-z）²≥0
顯然成立，故問題得證．