Question

已知數列{a_n}和{b_n}滿足a₁=1且．
（I）證明：數列{}是等差數列，并求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求使不等式對任意正整數n都成立的最大實數k．

Answer 1

（I）證明：∵數列{a_n}和{b_n}滿足a₁=1，
且，
∴（1+2a_n）（1-2a_n+1）=1，
∴a_n-a_n+1=2a_n•a_n+1，
∴，
∴數列是以=1為首項，以2為公差的等差數列，
∴=1+2（n-1）=2n-1，
∴．
（Ⅱ）解：由（I）得，
，
，
則k，
記f（n）=，
則，
∴數列{f（n）}是遞增數列，
要使原不等式對任意正整數n都成立，只要k≤f（1），
即，
∴滿足條件的最大實數k為．
分析：（I）由題設知（1+2a_n）（1-2a_n+1）=1，故a_n-a_n+1=2a_n•a_n+1，，由此能夠證明數列是以=1為首項，以2為公差的等差數列，并能求出數列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）由，知，故，則k，由此能求出滿足條件的最大實數k的值．
點評：本題考查數列與不等式的綜合，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．