Question

已知函數．
（I）當-1＜a＜0時，求f（x）的單調區間；
（II）若-1＜a＜2（ln2-1），求證：函數f（x）只有一個零點x，且a+1＜x＜a+2；
（III）當時，記函數f（x）的零點為x，若對任意x₁，x₂∈[0，x]且x₂-x₁=1，都有|f（x₂）-f（x₁）|≥m成立，求實數m的最大值．
（本題可參考數據：ln2=0.7，，）

Answer 1

【答案】分析：（I）f（x）的定義域為（a，+∞）．．由此能求出題函數f（x）的單調區間．
（II）當-1＜a＜2（ln2-1）＜0時，由（I）知，f（x）的極小值為f（0），極大值為f（a+1）．由此能夠證明函數f（x）只有一個零點x，且a+1＜x＜a+2．
（III）因為，所以任意x₁，x₂∈[0，x]且x₂-x₁=1，由（II）可知x₁∈[0，a+1]，x₂∈（a+1，x]，且x₂≥1．由此能推導出使得|f（x₂）-f（x₁）|≥m恒成立的m的最大值．
解答：（I）解：f（x）的定義域為（a，+∞）．
．
令f'（x）=0⇒x=0或x=a+1．
當-1＜a＜0時，a+1＞0，函數f（x）與f'（x）隨x的變化情況如下表：

x	（a，0）		（0，a+1）	a+1	（a+1，+∞）
f（x）	-		+		-
f'（x）	↘	極小值	↗	極大值	↘

所以，函數f（x）的單調遞增區間是（0，a+1），單調遞減區間是（a，0）和（a+1，+∞）．…（4分）
（II）證明：當-1＜a＜2（ln2-1）＜0時，
由（I）知，f（x）的極小值為f（0），極大值為f（a+1）．
因為f（0）=aln（-a）＞0，，
且f（x）在（a+1，+∞）上是減函數，
所以f（x）至多有一個零點．
又因為，
所以函數f（x）只有一個零點x，且a+1＜x＜a+2．…（9分）
（III）解：因為，
所以任意x₁，x₂∈[0，x]且x₂-x₁=1，
由（II）可知x₁∈[0，a+1]，x₂∈（a+1，x]，且x₂≥1．
因為函數f（x）在[0，a+1]上是增函數，在（a+1，+∞）上是減函數，
所以f（x₁）≥f（0），f（x₂）≤f（1），
∴f（x₁）-f（x₂）≥f（0）-f（1）．
當時，．
所以f（x₁）-f（x₂）≥f（0）-f（1）＞0
所以|f（x₂）-f（x₁）|的最小值為．
所以使得|f（x₂）-f（x₁）|≥m恒成立的m的最大值為．…（14分）
點評：本題考查函數的單調區間的求法，考查不等式的證明，考查滿足條件的實數的最大值的求法，考查推理論證能力，考查等價轉化思想，解題時要認真審題，注意導數性質的合理運用．