Question

（2013•松江區二模）如圖，現將一張正方形紙片進行如下操作：第一步，將紙片以D為頂點，任意向上翻折，折痕與BC交于點E₁，然后復原，記∠CDE₁=α₁；第二步，將紙片以D為頂點向下翻折，使AD與E₁D重合，得到折痕E₂D，然后復原，記∠ADE₂=α₂；第三步，將紙片以D為頂點向上翻折，使CD與E₂D重合，得到折痕E₃D，然后復原，記∠CDE₃=α₃；按此折法從第二步起重復以上步驟…，得到α₁，α₂，…，α_n，…，則

lim

n→∞

αn=

π

6

．

Answer 1

分析：由第二步、第三步，…依此類推：αn=

1

2

(

π

2

-αn-1)（n≥2）．若α1=

π

6

，則αn=

π

6

；若α1≠

π

6

，則數列{αn-

π

6

}是以α1-

π

6

為首項，-

1

2

為公比的等比數列，利用等比數列的通項公式就得出α_n，再利用數列極限即可得出．

解答：解：由第二步可知：α2=

1

2

(

π

2

-α1)；由第三步可知：α3=

1

2

(

π

2

-α2)，…依此類推：αn=

1

2

(

π

2

-αn-1)（n≥2）．
∴αn=-

1

2

αn-1-

π

4

，
∴αn-

π

6

=-

1

2

(αn-1-

π

6

)，
①若α1=

π

6

，則αn=

π

6

，此時

lim

n→∞

αn=

π

6

；
②若α1≠

π

6

，則數列{αn-

π

6

}是以α1-

π

6

為首項，-

1

2

為公比的等比數列，
∴αn-

π

6

=(α1-

π

6

)(-

1

2

)n-1，即αn=(α1-

π

6

)(-

1

2

)n-1+

π

6

．
∴

lim

n→∞

αn=

lim

n→∞

[(α1-

π

6

)(-

1

2

)n-1+

π

6

]=

π

6

．
綜上可知：

lim

n→∞

αn=

π

6

．
故答案為

π

6

．

點評：由第二步、第三步，…依此類推：αn=

1

2

(

π

2

-αn-1)（n≥2）．及熟練掌握等比數列的通項公式和數列極限的定義和運算法則是解題的關鍵．