Question

.圓C的半徑為3，圓心C在直線2x+y=0上且在x軸的下方，x軸被圓C截得的弦長BD為2

5

．
（1）求圓C的方程；
（2）若圓E與圓C關于直線2x-4y+5=0對稱，試判斷兩圓的位置關系．

Answer 1

分析：（1）由題意可設方程為（x-a）²+（y+2a）²=9，由條件可得a=1，進而可得方程；（2）設圓心E（m，n），由對稱關系可得

m=-2 n=4

，半徑為3，可得|EC|=3

5

＞6，故相離．
解法二，先得圓C與直線2x-4y+5=0相離，進而可得對稱的圓與已知圓相離．

解答：解：（1）由題意設圓心坐標（a，-2a）---（1分），則圓方程為（x-a）²+（y+2a）²=9----（2分）
作CA⊥x軸于點A，在Rt△ABC中，CB=3，AB=

5

，∴CA=2，-------（4分）
所以|-2a|=2，解得a=±1-----------（5分）
又因為點C在x軸的下方，所以a=1，即C（1，-2）-----------（6分）
所以圓方程為：（x-1）²+（y+2）²=9------------（7分）
（2）設圓心E（m，n），由題意可知點E與點C是關于直線2x-4y+5=0對稱，
所以有

2× 1+m 2 -4× n-2 2 +5=0 n+2 m-1 × 1 2 =-1

--------（9分）可解得

m=-2 n=4

-------------（11分）
所以點E（-2，4）且圓E的半徑為3--------（12分）
所以|EC|=

(-2-1)2+(4+2)2

=3

5

＞6，----（13分）
故兩圓為相離關系---------------（14分）
解法二：點C（1．-2）到直線的距離為d=

|Ax0+By0+C|

A2+B2

=

|2+8+5|

4+16

=

3 5

2

＞3-------（9分）
所以圓C與直線2x-4y+5=0相離-----（11分）
而圓E與圓C關于直線2x-4y+5=0對稱，
所以圓E與直線2x-4y+5=0也相離，------（13分）   
 故兩圓相離．-------（14分）

點評：本題考查直線和圓的位置關系，以及對稱問題，屬中檔題．